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sin(x)のテイラー展開を微分を用いて導く!テイラー展開の根本の理解のために

大学一年生の解析学の授業で出てきて多くの人が??に追い込まれるテーラー展開

 

おそらく多くの人がテーラー展開で追い込まれるのは、テーラー展開という計算手法がどういうものかを具体的に理解できていないからでしょう。

 

そこで、今回は\(sin(x)\)のテーラー展開を例に取って、具体的にテーラー展開が何をするための計算手法なのかを解説していきます。

 

ここでテーラー展開を理解するためには微分の計算法則を最低限理解していないと苦しむと思うので、そのような人はまずは微分の計算法則だけ理解しておきましょう。

 

1.導出

まずは、テーラー展開の意味を見ていきましょう。

 

テーラー展開
ある関数をベキ級数展開する計算手法。

 

なので、\(sin(x)\)をテーラー展開した形を

\(sin(x)=a_0 + a_{1}x + a_{2}x^2 + a_{3}x^3 + a_{4}x^4 + a_{5}x^5 + …… \)

とおきます。(\(a\)は任意定数)

 

ここで、この\(sin(x)\)のベキ級数展開をしたものを繰り返し微分していきます!

 

じゃあやっていきましょう!

まず、\(sin(x)\)を微分すると

\(cos(x) = 1a_1 + 2a_{2}x^1 + 3a_{3}x^2 + 4a_{4}x^3 + 5a_{5}x^4 + …… \)

 

次に、この\(cos(x)\)を微分すると

\(-sin(x) = 2{\cdot}1{\cdot}a_2 + 3{\cdot}2{\cdot}a_{3}x^1 + 4{\cdot}3{\cdot}a_{4}x^2 + 5{\cdot}4{\cdot}a_{5}x^3 …… \)

 

また微分して

\(-cos(x) = 3{\cdot}2{\cdot}1{\cdot}a_3 + 4{\cdot}3{\cdot}2{\cdot}a_{4}x^1 + 5{\cdot}4{\cdot}3{\cdot}a_{5}x^2 + …… \)

 

また微分して

\(sin(x) = 4{\cdot}3{\cdot}2{\cdot}1{\cdot}a_4 + 5{\cdot}4{\cdot}3{\cdot}2{\cdot}a_{5}x^1 + …… \)

 

もう一度微分して

\( cos(x) = 5{\cdot}4{\cdot}3{\cdot}2{\cdot}1{\cdot}a_5 + …… \)

 

ここで、今まで微分してきた式で\(x = 0\)としたらどうなるだろうか?

\(sin0 = 0 = a_0\)

\(cos0 = +1 = 1{\cdot}a_1 \)

\(-sin0 = 0 = 2{\cdot}1{\cdot}a_2 \)

\(-cos0 = -1 = 3{\cdot}2{\cdot}1{\cdot}a_3 \)

\(sin0 = 0 = 4{\cdot}3{\cdot}2{\cdot}1{\cdot}a_4\)

\(cos0 = +1 = 5{\cdot}4{\cdot}3{\cdot}2{\cdot}1{\cdot}a_5\)

 

これを最初に決めた\(sin(x)\)の\(a_0〜a_5\)に代入すると

 

したがって、\(sin(x)\)のテーラー展開は

\(sin(x) = +\displaystyle\frac{x^1}{1!} – \displaystyle\frac{x^3}{3!} + \displaystyle\frac{x^5}{5!} -\displaystyle\frac{x^7}{7!} + ……\)

 

これで\(sin(x)\)のテーラー展開の公式を導出できました。

 

テーラー展開をすることでその関数を近似的に求めることができます。

これを利用することで量子力学などの近似的な解を求める手法で\(sin(x)\)などを導入できるようになりました。

 

2.最後に

これでテーラー展開の公式を導出することができましたね。

 

まずこの導出をできるようにした上で、数学科や物理学科の人はこれをもっとレベルの高い分野で基礎数学として利用するのでいつでも引き出せるようにしましょう!

 

sin(x)のテーラー展開
\(sin(x) = +\displaystyle\frac{x^1}{1!} – \displaystyle\frac{x^3}{3!} + \displaystyle\frac{x^5}{5!} -\displaystyle\frac{x^7}{7!} + ……\)

 

このブログは僕が普段学習したことのアウトプット用に使っています。

 

大学での専攻は物理学、独学でPythonを学習しているためこの2つが主な内容を占めています。

 

時間がある時に読んでいただけると嬉しいです。

 

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3.参考文献

今回の記事を書くにあたって参考にした本を紹介します。

 



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  • どうも管理人の「のぶ」です!

    とある東京の国立理系大学に在学。

    物理工学を専攻中。

     

     



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