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相加相乗平均の公式の導出!数学の公式は導出から理解しよう!

多くの人が数学IIBの序盤でつまずく公式の定番、「相加相乗平均の公式」の使い道と導出を今回は解説していきます。

 

この公式を多くの人は教科書に載っている式のまま覚えていると思います。

 

だけど、この式は実はとても単純な式が元となっているんです!!

 

それではまずは導出から見ていきましょう!

 

1.導出

相加相乗平均の関係式のスタート地点は、「実数の二乗は常に0以上」というあの定番の定義からです!!

\(r^2>=0\)

 

\(r=a-b\)とすると、

\((a-b)^2 \geq 0\)

\(a^2-2ab+b^2 \geq 0\)

\(a^2+b^2 \geq 2ab\)

\(\frac{a^2+b^2}{2} \geq ab\)

\(ab > 0\)ならば、

\(ab = \sqrt{a^2b^2}\)

 

なので、

\(\frac{a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2}\) …⑴

 

\(ab > 0\)という条件から\(a,b\)の条件は\(a > 0, b > 0\) か \(a < 0, b < 0\)になります。

なので、\(a > 0, b < 0\) か \(a < 0, b > 0\)のときも考えると、このときも⑴式は成り立ちます

 

したがって、

\(\frac{a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2}\)

\(a,b\)は全ての実数ということがわかります。

 

ここで\(a^2 = x, b^2 = y\)とおくと、

\(\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\)

\(x,y\)の条件は\(x >= 0, y >= 0\)となり、

しっかりと相加相乗平均の条件を満たすことができました。

 

2.使い道

この相加相乗平均の関係式を覚えたは良いもののどのタイミングで使えば良いのかわからないという人が大半だったと思います。

 

そこでこの関係式の使い方を解説します。

 

まず、式の形に注目しましょう!

 

不等式の形になっています。不等式ということは何かの値の範囲を限定できます。

 

つまり、範囲を求めさせる問題に利用できます。

 

最もよく使う場面は、最大値や最小値を求めさせる問題で利用できます。

 

このように数学の各公式は導出をできるようにして、その上でどのような場面で使えるのかをしっかりと理解して進めていきましょう!

 

3.最後に

ここまでで相加相乗平均の関係の導出と解説を行いました。

 

おそらくこの導出は多くの教科書では書かれていないので、淡白な公式が少しは色がついて見えるようになったと思います。

 

相加相乗平均の備忘録
最大・最小を求める問題で活躍!
変数は自然数!

 

他にも図形を使った導出方法があります!!

これに関してはヨビノリのたくみさんが素晴らしくわかりやすく解説されているのでこちらの動画を参考にしてください!↓

 

このブログは僕が普段学習したことのアウトプット用に使っています。

 

大学での専攻は物理学、独学でPythonを学習しているためこの2つが主な内容を占めています。

 

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  • どうも管理人の「のぶ」です!

    とある東京の国立理系大学に在学。

    物理工学を専攻中。

     

     



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